双手持续发痒掉皮，指甲壳开始有纹路凹陷，

根据描述和图片看考虑连续性肢端皮炎可能性较大。一般与皮肤屏障破坏接触过敏源有关。如果方便可以在家休养避免手部接触一切有腐蚀性物品。每日准备凡士林纱布，如果没有凡士林可以用红霉素软膏全部均匀涂抹于手上用纱布包裹然后戴一次性手套进行封闭治疗。连续封闭治疗一周后再单独外用维生素E双进行维护治疗。

双手皮肤脱皮瘙痒是霉菌感染的表现，可能是患了霉菌感染了，患者要用药膏涂抹患处，常用的药有咪康唑乳膏，复方酮康唑乳膏。如果治疗效果不好，也需要做皮肤科检查，指甲凹下去是营养不良的表现，患者要做营养元素的检查，缺什么营养就要补充什么营养。

上述症状考虑是皮肤病湿疹，湿疹是由于内外因素导致皮肤发生的渗出性炎症病变，内在因素与体内湿热旺盛有关，而外在因素与接触过敏物质有很大关系。建议到医院做过敏原检测，忌辛辣刺激海鲜烧烤，饮食清淡，可以口服氯雷他定片、五花茶颗粒、复方甘草酸苷胶囊，外用复方酮康唑软膏治疗。